Cho đường tròn tâm O đường kính MN và dây cung PQ...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các dấu hiện nhận biết tứ giác nội tiếp.

+) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Giải chi tiết:

1) Tứ giác GKNJ là tứ giác nội tiếp.

\(MN\bot PQ\) tại I nên I là trung điểm của \(PQ\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)

\(\Rightarrow MN\) là trung trực của PQ.

\(\Rightarrow MP=MQ\Rightarrow sd\overset\frown{MP}=sd\overset\frown{MQ}.\)

Lại có \(\widehat{PNM}\) là góc nội tiếp chắn cung PM, \(\widehat{MJQ}\) là góc nội tiếp chắn cung MQ \(\Rightarrow \widehat{PNM}=\widehat{MJQ}\).

\(\Rightarrow \) Tứ giác GKNJ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 góc nội tiếp cùng chắn 1 cung bằng nhau).

2) KG song song với PQ.

Tứ giác GKNJ nội tiếp \(\Rightarrow \widehat{GKN}+\widehat{GJN}={{180}^{0}}.\)(tổng hai góc đối diện trong tứ giác).

Mà \(\widehat{MJN}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) \(\Rightarrow \widehat{MJN}={{90}^{0}}\) (số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn) hay \(GK\bot MN.\)

Lại có \(MN\bot PQ\ \ \left( gt \right)\Rightarrow GK//PQ\)  (từ vuông góc đến song song).

3) Điểm G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PKJ.

\(sd\overset\frown{MP}=sd\overset\frown{MQ}\Rightarrow \widehat{{{J}_{1}}}=\widehat{{{J}_{2}}}\Rightarrow \) JG là tia phân giác của \(\widehat{PJK}\)

Ta có : \(K\in MN\Rightarrow KP=KQ\Rightarrow \Delta KPQ\) cân tại K \(\Rightarrow \widehat{{{P}_{1}}}=\widehat{{{Q}_{1}}}\)

Mà \(\widehat{{{P}_{1}}}=\widehat{{{K}_{2}}}\) (so le trong), \(\widehat{{{Q}_{1}}}=\widehat{{{K}_{1}}}\,\,\left( cmt \right)\Rightarrow \widehat{{{K}_{1}}}=\widehat{{{K}_{2}}}\Rightarrow KG\) là tia phân giác của \(\widehat{JKP}\).

\(IG\cap KG=G\Rightarrow \) G là tâm đường tròn nội tiếp tam giác PKJ (đpcm).