Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên R v...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t = \tan x\) sau đó tính tích phân bằng phương pháp đổi biến. Sử dụng công thức  \({1 \over {{{\cos }^2}x}} = {\tan ^2}x + 1.\)

Giải chi tiết:

Đặt \(t = \tan x \Leftrightarrow {\rm{d}}t = {{{\rm{d}}x} \over {{{\cos }^2}x}} = \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right){\rm{d}}x \Leftrightarrow {\rm{d}}x = {{{\rm{d}}t} \over {{t^2} + 1}}.\) Và đổi cận \(\left\{ \matrix{  x = 0\,\, \to \,\,t = 0 \hfill \cr   x = {\pi  \over 4}\,\, \to \,\,t = 1 \hfill \cr}  \right.\)

Khi đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {{{f\left( t \right)} \over {{t^2} + 1}}{\rm{d}}t}  = \int\limits_0^1 {{{f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}{\rm{d}}x}  = 4.\)

Vậy \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}}  = \int\limits_0^1 {{{f\left( x \right) + {x^2}f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}}  = \int\limits_0^1 {{{f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}{\rm{d}}x}  + \int\limits_0^1 {{{{x^2}f\left( x \right)} \over {{x^2} + 1}}{\rm{d}}x}  = 4 + 2 = 6.\)

Chọn D.