Biết rằng \(\int\limits_0^1 {x\cos 2x\,{\rm{d}}x} ...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm đa thức.

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = x \hfill \cr   {\rm{d}}v = \cos 2x\,{\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = {\rm{d}}x \hfill \cr   v = {{\sin 2x} \over 2} \hfill \cr}  \right.,\) khi đó \(\int\limits_0^1 {x\cos 2x\,{\rm{d}}x}  = \left. {{{x.\sin 2x} \over 2}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{{\sin 2x} \over 2}{\rm{d}}x} \)

\( = \left. {{{x.\sin 2x} \over 2}} \right|_0^1 + \left. {{{\cos 2x} \over 4}} \right|_0^1 = \left. {\left( {{{x.\sin 2x} \over 2} + {{\cos 2x} \over 4}} \right)} \right|_0^1 = {{\sin 2} \over 2} + {{\cos 2} \over 4} - {1 \over 4} = {1 \over 4}\left( {2\sin 2 + \cos 2 - 1} \right).\)

Mặt khác \(\int\limits_0^1 {x\cos 2x\,{\rm{d}}x}  = {1 \over 4}\left( {a\sin 2 + b\cos 2 + c} \right)\) suy ra \(\left\{ \matrix{  a = 2 \hfill \cr   b = 1 \hfill \cr   c =  - \,1 \hfill \cr}  \right.\,\, \Rightarrow \,\,a - b + c = 0.\)

Chọn D.