Cho hình chóp S ABC . có SA = 3a...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Trong tam giác ABC có AM là đường trung tuyến \(\Rightarrow A{{M}^{2}}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}}{2}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}\)

Giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SGB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SGC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SGB} \right) \cap \left( {SGC} \right) = SG\end{array} \right. \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)\) SA hợp với đáy 1 góc 60 độ \(\Leftrightarrow \)\(\widehat{SAG}={{60}^{0}}\Rightarrow SG=SA.\sin 60=\frac{3\sqrt{3}a}{2};\,\,GA=SA.\cos 60=\frac{3a}{2}\)

+ Gọi M là trung điểm của  BC \(\Rightarrow A;G;M\)thẳng hàng (vì G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow \) G thuộc đường trung tuyến AM) \(\Rightarrow AM=\frac{3}{2}.GA=\frac{9}{4}a\)

Đặt AB = x, ta có: \(BC=AB.\cot 30=x\sqrt{3}\Rightarrow AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=2x\)

Trong tam giác ABC có AM là đường trung tuyến 

\(\begin{array}{l}A{M^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4} = \frac{{{x^2} + 3{x^2}}}{2} - \frac{{4{x^2}}}{4} = {x^2} \Rightarrow AM = x = \frac{9}{4}a\\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.BC = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.{x^2} = \frac{{81\sqrt 3 }}{{32}}.{a^2}.\\{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SG.{S_{ABC}} = \frac{{243{a^3}}}{{64}}\end{array}\)

Chọn đáp án A.