Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đồ thị hàm số: \(y = {f_1}\left( x \right);\,\,\,y = {f_2}\left( x \right)\); \(x = a;\,\,x = b\) với \(a < b\). Khi đó thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi qua (H) quanh trục Ox được xác định bởi công thức:\(V = \pi \int\limits_a^b {\left| {f_1^2\left( x \right) - f_2^2\left( x \right)} \right|} dx\).

Sau đó sử dụng các phương pháp tính tích phân hoặc bấm máy tính để tính V.

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm \(\left( {x - 4} \right){e^x} = 0 \Leftrightarrow x = 4\).

Thể tích khối tròn xoay cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_0^4 {{{(x - 4)}^2}} {e^{2x}}dx\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {\left( {x - 4} \right)^2}\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2\left( {x - 4} \right)dx\\v = \frac{1}{2}{e^{2x}}\end{array} \right. \Rightarrow V = \pi \left[ {\left. {\frac{1}{2}{{\left( {x - 4} \right)}^2}{e^{2x}}} \right|_0^4 - \int\limits_0^4 {\left( {x - 4} \right){e^{2x}}dx} } \right] = \pi \left[ { - 8 - {I_1}} \right]\)

Tính \({I_1} = \int\limits_0^4 {\left( {x - 4} \right){e^{2x}}} dx\)

\(\left\{ \begin{array}{l}u = (x - 4)\\dv = {e^{2x}}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \frac{1}{2}{e^{2x}}\end{array} \right. \Rightarrow {I_1} = \frac{1}{2}(x - 4){e^{2x}}\left| {_0^4} \right. - \frac{1}{2}\int\limits_0^4 {{e^{2x}}} dx\)

\(\begin{array}{l}{I_1} =  - 2 - \frac{1}{4}{e^{2x}}\left| {_0^4} \right. = 2 - \frac{1}{4}{e^8} + \frac{1}{4} = \frac{9}{4} - \frac{1}{4}{e^8}\\ \Rightarrow V = \pi \left[ { - 8 - \frac{9}{4} + \frac{1}{4}{e^8}} \right] = \frac{\pi }{4}\left( {{e^8} - 41} \right)\end{array}\)

Chọn D.