Lăng trị ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Mặt phẳng (P)...

Câu hỏi: Lăng trị ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Mặt phẳng (P) chứa BC vuông góc với AA' cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{8}$ . Thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C' bằng.

A. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

B. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{12}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{3}$

D. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm BC. Từ M kẻ $M H ⊥ A A' \Rightarrow (H B C) ⊥ A A'$

$H M = \frac{2 d t_{H B C}}{B C} = 2 \frac{a^{2} \sqrt{3}}{8 a} = \frac{a \sqrt{3}}{4}$

$A H = \sqrt{A M^{2} - H M^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{4} - \frac{3 a^{2}}{16}} = \frac{3 a}{4}$

$∆ A M H ~ ∆ A A' O \Rightarrow \frac{A H}{A O} = \frac{M H}{A' O} \Rightarrow A' O = \frac{A O . M H}{A H} = \frac{a . a \sqrt{3} . 4}{\sqrt{3} . 4.3 a} = \frac{a}{3}$

Vậy thể tích ABCA’B’C' là

$V = A O . d t_{A B C} = \frac{a}{3} . \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12}$

Đáp án cần chọn là D

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm

Tổng hợp đề thi thử THPTQG môn Toán cực hay tuyển chọn, có lời giải chi tiết !!

↑