Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạn...

D

- Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Trong mp  $\left(ABCD\right)$ gọi O là giao điểm của AC và BD.

Trong mặt phẳng $\left(SAC\right)$, qua O kẻ đường thẳng vuông góc với SC, cắt SC tại H.

Ta có  $\left\{\begin{array}{l}BD\perp AC\\ BD\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)$$\Rightarrow BD\perp OH\Rightarrow OH$là đường vuông góc chung của hai đường thẳng SC và BD.

Lại có $AC=a\sqrt{2}$$\Rightarrow CS=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}$$=\sqrt{a^2+2a^2}=\sqrt{3a^2}=a\sqrt{3}$.

Hai tam giác COH và CSA đồng dạng với nhau. Suy ra 

$\begin{array}{l}\frac{OH}{SA}=\frac{CO}{CS}\\ \Rightarrow OH=\frac{SA.CO}{CS}\\ =\frac{a.\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\end{array}$

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD bằng $\frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Chọn đáp án D.