Gọi \({m_1},{m_2}\) là các giá trị của tham số

C

- Hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y = {x^3} - 3{x^2} + {m^2} - m + 1\\y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = {m^2} - m + 1\\x = 2 \Rightarrow y = {m^2} - m - 3\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(A\left( {0;{m^2} - m + 1} \right)\), \(B\left( {2;{m^2} - m - 3} \right)\).

Thực hiện phép chia đa thức, ta được: \(y = y'.\left( {\dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3}} \right) - 2x + {m^2} - m + 1\).

Do đó, đường thẳng đi qua 2 điểm cực tiểu và cực đại là \(\left( d \right):y =  - 2x + {m^2} - m + 1\) \( \Leftrightarrow  - 2x - y + {m^2} - m + 1 = 0\)

\(\begin{array}{l}d\left( {C;d} \right) = \dfrac{{\left| {-2.\left( { - 2} \right) - 4 + {m^2} - m + 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {{m^2} - m + 1} \right|}}{{\sqrt 5 }}\\AB = \sqrt {{{\left( {{x_A} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)}^2}}  = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 \\ \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 5 .\dfrac{{\left| {{m^2} - m + 1} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 7\\ \Rightarrow \left| {{m^2} - m + 1} \right| = 7\\ \Rightarrow {m^2} - m + 1 = 7\,\,\,\left( {Do\,\,{m^2} - m + 1 > 0\,\,\forall m} \right)\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{m_1} = 3\\{m_2} =  - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow m_1^2 + m_2^2 = {3^2} + {\left( { - 2} \right)^2} = 13.\end{array}\)

Chọn C.