Cho phương trình

Câu hỏi: Cho phương trình $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} + 2 = 0$ với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_{1}; x_{2}$ sao cho $|x_{1}^{4} - x_{2}^{4}| = 16 m^{2} + 64 m$

A. m = 2

B. $m = \frac{1}{2}$

C. m = 1

D. $m = 4 \pm \sqrt{10}$

Đáp án

- Hướng dẫn giải

$|x_{1}^{4} - x_{2}^{4}| = |(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) (x_{1}^{2} - x_{2}^{2})| = [{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2}] |x_{1} - x_{2}| |x_{1} + x_{2}|$

Mà $|x_{1} - x_{2}| = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2}} = \sqrt{{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2}}$

$= \sqrt{{(2 m + 2)}^{2} - 4 (m^{2} + 2)} = \sqrt{8 m - 4}$ (điều kiện $8 m - 4 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2}$

Suy ra $|x_{1}^{4} - x_{2}^{4}| = [{(2 m + 2)}^{2} - 2 (m^{2} + 2)] \sqrt{8 m - 4} |2 m + 2|$

$= (2 m^{2} + 8 m) \sqrt{8 m - 4} |2 m + 2|$

Suy ra $|x_{1}^{4} - x_{2}^{4}| = 16 m^{2} + 64 m$

$\Leftrightarrow (2 m^{2} + 8 m) \sqrt{8 m - 4} |2 m + 2| = 16 m^{2} + 64 m$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (m^{2} + 4 m) (\sqrt{8 m - 4} |2 m + 2| - 8) = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{matrix} m^{2} + 4 m = 0 (1) \\ \sqrt{8 m - 4} |2 m + 2| = 8 (2) \end{matrix} \end{array}$