Cho một khối cầu tâm O bán kính bằng 6cm. Mặ...

- Hướng dẫn giải

Chọn đáp án A

Gọi I là tâm của hình tròn (C) và S là đỉnh của hình nón. Gọi bán kính của hình tròn (C) là r thì

Trường hợp 1: O nằm giữa S và I.

Chiều cao của hình chóp là SI = SO + OI = x + 6 (cm).

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\left(36-{\mathrm{x}}^2\right)\left(\mathrm{x}+6\right)\left({\mathrm{cm}}^3\right)$ 

Xét hàm số $f\left(x\right)=\left(36-x^2\right)\left(x+6\right)$ với $0\le x<6$ 

Ta có $f^{\text{'}}\left(x\right)=-3x^2-12x+36$

Do $0\le x<6$ nên x = - 6.

Lập bảng biến thiên của hàm số ta thấy f(x) ta thấy $f\left(x\right)\le f\left(2\right)=256$ 

Suy ra $V\le V_1=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }.256=\frac{256}{3}\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^3\right)$

Dấu “=” xảy ra x = 2.

Trường hợp 2: I nằm giữa S và O

Chiều cao của hình chóp là SI = SO – OI = 6 – x (cm)

Thể tích của khối chóp là $V=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\left(36-{\mathrm{x}}^2\right)\left(6-x\right)\left({\mathrm{cm}}^3\right)$ (cm³).

Xét hàm số $g\left(x\right)=\left(36-x^2\right)\left(6-x\right)$ với $0\le x<6$

Ta có $g^{\text{'}}\left(x\right)=3x^2-12x-36<0,\forall x\in \left[0;6\right]$ nên hàm số g(x) nghịch biến trên $\left[0;6\right]$.

Suy ra $g\left(x\right)\le g\left(0\right)=216$ 

Khi đó $V\le V_2=72\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^3\right)$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

So sánh hai trường hợp 1 và 2, suy ra thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho là $V=\frac{256}{3}\mathrm{\pi }\left({\mathrm{cm}}^3\right)$ khi $x=2\left(cm\right)$.