Từ điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰.

b) Chứng minh tam giác ABD và tam giác AED đồng dạng.

c) Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh \(\widehat{OHE};\widehat{AHF}\) bằng nhau.

Giải chi tiết:

a) Ta có \(\widehat{ABO}=\widehat{ACO}={{90}^{0}}\) (AB, AC là các tiếp tuyến) \(\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}={{180}^{0}}\Rightarrow ABOC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Xét tam giác ABD và ACE có: \(\widehat{BAE}\) chung, \(\widehat{ABD}=\widehat{AED}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BD).

\(\Rightarrow \Delta ABD\backsim \Delta AEB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=AD.AE\).

c) Xét tam giác ABO và AHB có \(\widehat{BAO}\) chung, \(\widehat{ABH}=\widehat{AOB}\) (cùng phụ \(\widehat{BAO}\))

\(\begin{align}  & \Rightarrow \Delta ABO\backsim \Delta AHB\,\,\left( g.g \right)\Rightarrow \frac{AB}{AO}=\frac{AH}{AB}\Rightarrow A{{B}^{2}}=AH.AO \\  & \Rightarrow AD.AE=AH.AO\Rightarrow \frac{AD}{AH}=\frac{AO}{AE} \\ \end{align}\)

Xét tam giác ADH và AOE có: \(\widehat{OAE}\) chung, \(\frac{AD}{AH}=\frac{AO}{AE}\,\,\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta ADH\backsim \Delta AOE\,\,\left( c.g.c \right)\Rightarrow \widehat{AHD}=\widehat{AEO}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Mà \(\widehat{AHD}+\widehat{DHO}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{AEO}+\widehat{DHO}={{180}^{0}}\Rightarrow OHDE\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

Ta có \(\Delta \text{ODE}\) cân tại O \(\Rightarrow \widehat{AEO}=\widehat{ODE}\,\,\left( 2 \right)\). Mà \(\widehat{ODE}=\widehat{OHE}\,\,\,\left( 3 \right)\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OE), \(\widehat{AHD}=\widehat{AHF}\,\,\,\left( 4 \right)\) (tính chất đối xứng).

Từ (1), (2), (3), (4) \(\Rightarrow \widehat{OHE}=\widehat{AHF}\). Mà hai góc này ở vị trí hai góc đối đỉnh.

Vậy ba điểm E, F, H thẳng hàng.