Cho hypebol \((H):\,{{{x^2}} \over 4} - {{{y^2}} \...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Lấy các điểm\(A\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,B\left( { - {x_0};\,{y_0}} \right),\,C\left( { - {x_0};\, - {y_0}} \right);\,D\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right),\,\,({x_0},{y_0} > 0)\) là 4 đỉnh của hình chữ nhật ABCD, có tâm O.

Viết phương trình các đường chéo AC, BD và suy ra hệ số góc của chúng, tìm điều kiện để các hệ số góc đó là số nguyên.

Giải chi tiết:

Gọi\(A\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,B\left( { - {x_0};\,{y_0}} \right),\,C\left( { - {x_0};\, - {y_0}} \right);\,D\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right),\,\,({x_0},{y_0} > 0)\) là 4 đỉnh của hình chữ nhật ABCD, có tâm O.

\(A,B,C,D \in (H) \Rightarrow {{{x_0}^2} \over 4} - {{{y_0}^2} \over {16}} = 1\)  (1)

Phương trình đường thẳng \(AC:\,\,y = {{{y_0}} \over {{x_0}}}x\) và phương trình đường thẳng \(BD:\,\,y =  - {{{y_0}} \over {{x_0}}}.x\)

Hệ số góc của đường chéo AC, BD lần lượt là :  \({{{y_0}} \over {{x_0}}}\) và  \( - {{{y_0}} \over {{x_0}}}\)

Hệ số góc các đường chéo là số nguyên \( \Leftrightarrow {{{y_0}} \over {{x_0}}} \in Z,\, - {{{y_0}} \over {{x_0}}} \in Z \Leftrightarrow {{{y_0}} \over {{x_0}}} \in Z.\)

Đặt  \({{{y_0}} \over {{x_0}}} = k \in {Z^ + } \Leftrightarrow {y_0} = k{x_0}\). Thay vào (1), ta được :

\({{{x_0}^2} \over 4} - {{{k^2}{x_0}^2} \over {16}} = 1 \Leftrightarrow {{{k^2}{x_0}^2} \over {16}} = {{{x_0}^2} \over 4} - 1 \Leftrightarrow {k^2}{x_0}^2 = 4{x_0}^2 - 16 \Leftrightarrow {k^2} = 4 - {{16} \over {{x_0}^2}}\) (2)

Từ (2) \( \Rightarrow 0 < {k^2} < 4\)

Mà  \(k \in Z \Rightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{  k = 1\,\,(TM) \hfill \cr   k =  - 1(L) \hfill \cr}  \right.\)

\(k = 1 \Rightarrow AC:\,\,y = x,\,\,\,BD:\,\,y =  - x\)

Vậy, phương trình đường chéo cần tìm là: \(y = x,\,\,\,y =  - x\).

Chọn: C