Cho số thực x, chứng minh rằng:a) \({{x}^{4}}+3\ge...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Biến đổi tương đương các bất đẳng thức, sử dụng các hằng đẳng thức để chứng minh.

Giải chi tiết:

a) Bất đẳng thức tương đương với \({{x}^{4}}-4x+3\ge 0\)

\(\begin{align}  & \Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-3 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\ge 0 \\  & \Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1 \right]\ge 0 \\ \end{align}\)

(luôn đúng với mọi số thực x)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1.

b) Bất đẳng thức tương đương với \({{x}^{4}}-{{x}^{2}}-4x+5>0\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}-4x+4>0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}>0\)

Ta có: \(\left( {{x}^{2}}-1 \right)\ge 0,\,\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}-1 \right)+{{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\)

Dấu bằng xảy ra\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - 1 = 0\\
x - 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \pm 1\\
x = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \)không xảy ra.

\(\Rightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}>0\) (đpcm).

c) Bất đẳng thức tương đương với \({{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0\)

Với \(x<1\) ta có: \({{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1={{x}^{12}}+{{x}^{4}}\left( 1-{{x}^{5}} \right)+\left( 1-x \right)\)

Ta có: \(x<1\Leftrightarrow {{x}^{5}}<1\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 1-{{x}^{5}}>0 \\  & 1-x>0 \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{x}^{12}}+{{x}^{4}}\left( 1-{{x}^{5}} \right)+\left( 1-x \right)>0\)

Với \(x\ge 1\) ta có:  \({{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1={{x}^{9}}\left( {{x}^{3}}-1 \right)+x\left( {{x}^{3}}-1 \right)+1\)

Do \(x\ge 1\Rightarrow {{x}^{3}}\ge 1\Rightarrow {{x}^{3}}-1\ge 0\) , do đó \({{x}^{9}}\left( {{x}^{3}}-1 \right)+x\left( {{x}^{3}}-1 \right)+1>0\)

Vậy ta có: \({{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0\).