Trong không gian với hệ tọa độ  Oxyz,  cho mặt phẳ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Vì \(x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}=O{{M}^{2}}\)\(\Rightarrow \) \(\left( x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2} \right)\)đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MO\) đạt giá trị nhỏ nhất\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P).Bài toán đưa về nhiệm vụ tìm hình chiếu của O trên mặt phẳng (P).

Giải chi tiết:

Ta có \(x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2}=O{{M}^{2}}\)

\(\Rightarrow \left( x_{M}^{2}+y_{M}^{2}+z_{M}^{2} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MO\)đạt giá trị nhỏ nhất

\(\Leftrightarrow \)M là hình chiếu của O trên mặt phẳng (P).

Ta có: \(MO:\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MO}  = \overrightarrow {{n_P}}  = \left( {1;1;2} \right)\\O(0;0;0)\end{array} \right. \Rightarrow MO:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 2t\end{array} \right.\)

Tọa độ của M là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 2t\\x + y + 2z - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 2t\\6t - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 2\\t = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {1;1;2} \right)\)

Chọn C