Cho \(\Delta ABC\), qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đư...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất hai đường thẳng song song, dấu hiệu nhận biết đường trung trực.

Giải chi tiết:

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
DE//BC\\
DF//AC
\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {{A_1}} = \widehat {ABC}\\
\widehat {{B_1}} = \widehat {BAC}
\end{array} \right.\left( {SLT} \right)\)

Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta BCA\) có:

\(\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{ABC}\left( cmt \right)\)

AB chung

\(\widehat{{{B}_{1}}}=\widehat{BAC}\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta ADB=\Delta BCA\left( c-g-c \right)\Rightarrow AD=BC\left( 1 \right)\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
DE//BC\\
EF//AC
\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {{A_2}} = \widehat {ACB}\\
\widehat {ACB} = \widehat {BAC}
\end{array} \right.\left( {SLT} \right)\)

Xét \(\Delta AEC\) và \(\Delta CBA\) có:

\(\widehat{{{A}_{2}}}=\widehat{ACB}\left( cmt \right)\)

AC chung

\(\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{BAC}\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta AEC=\Delta CBA\left( c-g-c \right)\Rightarrow AE=BC\left( 2 \right)\) (2 cạnh tương ứng)

 Từ \(\left( 1 \right)\left( 2 \right)\Rightarrow AD=AE\Rightarrow \) A là trung điểm của DE.

Gọi AH là đường cao của \(\Delta ABC\Rightarrow AH\bot BC\) mà \(BC//DE\Rightarrow AH\bot DE\).

Mặt khác, A là trung điểm của DE nên AH là đường trung trực của DE. (*)

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
AB//FE\\
DF//AC
\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {ABC} = \widehat {BCF}\\
\widehat {ACB} = \widehat {FBC}
\end{array} \right.\left( {SLT} \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta FCB\) có:

\(\widehat{ABC}=\widehat{BCF}\left( cmt \right)\)

BC chung

\(\widehat{CBF}=\widehat{ACB}\left( cmt \right)\)

\(\Rightarrow \Delta ABC=\Delta FCB\left( c-g-c \right)\Rightarrow AB=FC\left( 3 \right)\) (2 cạnh tương ứng)

Lại có \(\Delta AEC = \Delta CBA\left( {cmt} \right) \Rightarrow AB = EC\left( 4 \right)\)(2 cạnh tương ứng)

Từ \(\left( 3 \right)\left( 4 \right)\Rightarrow EC=FC\Rightarrow \) C là trung điểm của EF.

Gọi CK là đường cao của \(\Delta ABC\Rightarrow CK\bot BA\) mà \(AB//FE\Rightarrow CK\bot FE\)

Mặt khác, C là trung điểm của FE nên CK là đường trung trực của FE. (**)

Vì \(\Delta ADB=\Delta BCA\left( cmt \right)\Rightarrow AC=BD\) (2 cạnh tương ứng)

Lại có: \(\Delta ABC=\Delta FCB\left( cmt \right)\Rightarrow AC=BF\) (2 cạnh tương ứng)

Suy ra \(BD=BF\Rightarrow \) B là trung điểm của DF.

Gọi BI là đường cao của \(\Delta ABC\Rightarrow BI\bot AC\) mà \(AC//DF\Rightarrow BI\bot DF\).

Mặt khác, B là trung điểm của DF nên BI là đường trung trực của DF. (***)

Từ (*)(**)(***) suy ra các đường cao của \(\Delta ABC\) chính là các đường trung trực của \(\Delta DFE\).