Biết \(I=\int\limits_{\ln 3}^{\ln 8}{\frac{{{e}^{x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt \(t=\sqrt{{{e}^{x}}+1}\)

Giải chi tiết:

Đặt \(t=\sqrt{{{e}^{x}}+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}={{e}^{x}}+1\Leftrightarrow 2tdt={{e}^{x}}dx=\left( {{t}^{2}}-1 \right)dx\Leftrightarrow dx=\frac{2t}{{{t}^{2}}-1}dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \ln 3 \Leftrightarrow t = 2\\x = \ln 8 \Leftrightarrow t = 3\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_2^3 {\frac{{{t^2} - 1 - 1}}{t}\frac{{2t}}{{{t^2} - 1}}dt}  = 2\int\limits_2^3 {\frac{{{t^2} - 2}}{{{t^2} - 1}}dt}  = 2\int\limits_2^3 {\left( {1 - \frac{1}{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right)dt} \\ = 2\int\limits_2^3 {\left( {1 + \frac{1}{2}\frac{{t - 1 - \left( {t + 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right)dt}  = 2\int\limits_2^3 {\left( {1 + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{t + 1}} - \frac{1}{{t - 1}}} \right)} \right)dt} \\ = \left. {\left( {2x + \ln \left( {t + 1} \right) - \ln \left( {t - 1} \right)} \right)} \right|_2^3\\ = 6 + \ln 4 - \ln 2 - 4 - \ln 3 = 2 - \ln \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a + b = 5\end{array}\)

Chọn C.