Tính \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{{{x}^{4}}+4...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) $\frac{1}{{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+3}=\frac{1}{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3 \right)}=\frac{A}{{{x}^{2}}+1}+\frac{B}{{{x}^{2}}+3}$

+) Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm $\int\limits_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}}$  bằng cách đặt $x=a\tan t$

Giải chi tiết:

$\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{x^4} + 4{x^2} + 3}}}  = \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)}}}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2} + 3 - \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)}}dx}  = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {\frac{1}{{{x^2} + 1}} - \frac{1}{{{x^2} + 3}}} \right)dx} \\ = \frac{1}{2}\left[ {\int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 1}}}  - \int\limits_0^1 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3}} - } } \right] = \frac{1}{2}\left( {{I_1} - {I_2}} \right)\end{array}$

Xét tích phân ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{{{x}^{2}}+1}}$ , đặt $x=\tan t\Leftrightarrow dx=\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)dt$                                                

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.$) khi đó ta có: ${{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}}{\frac{\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)dt}{\left( {{\tan }^{2}}t+1 \right)}}=\left. t \right|_{0}^{\frac{\pi }{4}}=\frac{\pi }{4}$

Xét tích phân ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{{{x}^{2}}+3}}$ , đặt $x=\sqrt{3}\tan t\Leftrightarrow dx=\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)dt$

Đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{6}\end{array} \right.$, khi đó ta có: ${{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\frac{\sqrt{3}\left( 1+{{\tan }^{2}}t \right)dt}{3\left( {{\tan }^{2}}t+1 \right)}}=\left. \frac{1}{\sqrt{3}}t \right|_{0}^{\frac{\pi }{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{\pi }{6}$

$\Rightarrow I=\frac{1}{2}\left( \frac{\pi }{4}-\frac{1}{\sqrt{3}}\frac{\pi }{6} \right)$

Chọn D.