Cho \(N\left( {0;0;c} \right);\,\,M\left( {a;3;0}...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\({S_{\Delta OMN}} = \frac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right]} \right|\) , \(\Delta OMN\) cân tại O \( \Rightarrow OI \bot MN\) với I là trung điểm của MN.

Giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {OM}  = \left( {a;3;0} \right);\,\,\overrightarrow {ON}  = \left( {0;0;c} \right) \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right] = \left( {3c; - ac;0} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OMN}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON} } \right]} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {9{c^2} + {a^2}{c^2}}  = 5 \Rightarrow 9{c^2} + {a^2}{c^2} = 100\,\,\,\left( * \right)\).

Gọi I là trung điểm của MN \( \Rightarrow I\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{c}{2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {OI}  = \left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{c}{2}} \right)\), \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - a; - 3;c} \right)\)

\( \Rightarrow OI \bot MN \Rightarrow  - \dfrac{{{a^2}}}{2} - \dfrac{9}{2} + \dfrac{{{c^2}}}{2} = 0 \Leftrightarrow {a^2} - {c^2} + 9 = 0 \Rightarrow {c^2} = {a^2} + 9\).

Thay \({c^2} = {a^2} + 9\) vào (*) ta có \(9{a^2} + 81 + {a^4} + 9{a^2} = 100 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow {c^2} = 10\)

Vậy  \(2{c^2} + {a^2} = 21\)

Chọn B.