Tìm tất cả các giá trị của tham số  để phương trìn...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x + 5} \), tìm khoảng giá trị của t. 

- Đưa phương trình ban đầu về dạng phương tình bậc 2 ẩn t. Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ẩn t cần có bao nhiêu nghiệm thỏa mãn điều kiện gì?

- Cô lập m, đưa phương trình về dạng \(f\left( t \right) = m.\) Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng y = m song song với trục hoành.

- Lập bảng biến thiên và tìm các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết:

ĐK: \({x^2} - 4x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + 1 \ge 1 \ge 0\) (luôn đúng) \(\Rightarrow \) TXĐ: D = R.

Ta có: \(4\sqrt {{x^2} - 4x + 5}  = {x^2} - 4x + 2m - 1\,\,\,\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 5 - 4\sqrt {{x^2} - 4x + 5}  = 6 - 2m\) 

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x + 5}  \Rightarrow t \in \left[ {1; + \infty } \right)\). Khi đó phương trình có dạng  \({t^2} - 4t = 6 - 2m\,\,\,\,\left( 2 \right)\) 

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có 4 nghiệm x phân biệt khi phương trình \(\left( 2 \right)\) có 2 nghiệm t phân biệt lớn hơn 1.

Lập BBT cho hàm số \(f\left( t \right) = {t^2} - 4t\) trên \(\left[ {1; + \infty } \right)\) 

Đường thẳng y = 6 – 2m là đường thẳng song song với trục hoành.

Ta có phương trình \(\left( 2 \right)\) có 2 nghiệm t  phân biệt lớn hơn 1 khi và chỉ khi 

\(f\left( 2 \right) < 6 - 2m < f\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 4 < 6 - 2m <  - 3 \Leftrightarrow  - 10 <  - 2m <  - 9 \Leftrightarrow \frac{9}{2} < m < 5\) 

Vậy \(\frac{9}{2} < m < 5\)  thì phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt.