Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi  \(\left\{...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tính \({{u}_{2}},\,{{u}_{3}},...\), từ đó dự đoán công thức tổng quát của dãy số.

- Rút ra nhận xét.

Giải chi tiết:

\(\begin{align}  & {{u}_{2}}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{{{2}^{1}}+1}{{{2}^{1}}} \\ & {{u}_{3}}=\frac{\frac{3}{2}+1}{2}=\frac{5}{4}=\frac{{{2}^{2}}+1}{{{2}^{2}}} \\ & {{u}_{4}}=\frac{\frac{5}{4}+1}{2}=\frac{9}{8}=\frac{{{2}^{3}}+1}{{{2}^{3}}} \\\end{align}\)

Chứng minh bằng quy nạp: \({{u}_{n+1}}=\frac{{{2}^{n}}+1}{{{2}^{n}}},\,\,\forall n=1;2;...\,\,\,\,(*)\):

* Với \(n=1\): \({{u}_{2}}=\dfrac{{{u}_{1}}+1}{2}=\dfrac{2+1}{2}=\dfrac{{{2}^{1}}+1}{{{2}^{1}}}\)  : (*) đúng

* Giả sử (*) đúng với \(n = k - 1\), tức là \({u_k} = \dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}}\) ta chứng minh (*) đúng với \(n = k\) , tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

Ta có : \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}} + 1}}{2}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}}}{2} = \dfrac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{2^k}}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)

Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).

Như vậy, công thức tổng quát của dãy \(({{u}_{n}})\)là: \({{u}_{n}}=\dfrac{{{2}^{n-1}}+1}{{{2}^{n-1}}}=1+\frac{1}{{{2}^{n-1}}},\,\,\forall n=1;2;...\,\,\,\,(*)\)

Từ (*) ta có \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=1+\frac{1}{{{2}^{n}}}-\left( 1+\frac{1}{{{2}^{n-1}}} \right)=\frac{1}{{{2}^{n}}}-\frac{1}{{{2}^{n-1}}}<0\,\,\forall n=1,2,...\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy giảm và  \(\lim {{u}_{n}}=\lim \left( 1+\frac{1}{{{2}^{n-1}}} \right)=1\Rightarrow \)\(({{u}_{n}})\) là dãy giảm tới 1 khi \(n\to +\infty \)

Chọn A.