Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuô...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Giải chi tiết:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\)

Xác định \({{60}^{0}}=\widehat{\left( SC;\left( ABCD \right) \right)}=\widehat{\left( SC;AC \right)}=\widehat{SCA}\) và

\(SA=AC.\tan \widehat{SCA}=\sqrt{A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}.\tan 60=a\sqrt{2}.\sqrt{3}=a\sqrt{6}\).

Gọi M là trung điểm AB, suy ra ADCM là hình vuông nên CM = AD = a.

Xét tam giác ACB, ta có trung tuyến \(CM=a=\frac{1}{2}AB\) nên tam giác ACB vuông tại C.

Lấy điểm E sao cho ACBE là hình chữ nhật, suy ra \(AC\parallel BE\).

Do đó \(d\left( AC;SB \right)=d\left( AC;\left( SBE \right) \right)=d\left( A;\left( SBE \right) \right)\).

Kẻ \(AK\bot SE\,\,\,\left( 1 \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AE\\BE \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BE \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BE \bot AK\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AK\bot \left( SBE \right)\)  

Khi đó \(d\left( A,\left( SBE \right) \right)=AK=\frac{SA.AE}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{E}^{2}}}}\).

Ta có: \(AE=BC=\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\Rightarrow AK=\frac{a\sqrt{6}.a\sqrt{2}}{\sqrt{6{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\)

Chọn A.