a)     Cho phương trình: \({{(x-a)}^{2}}\left[ a{{...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)     Phương trình đã cho tương đương với :

\(\begin{array}{l}{(x - a)^2}\left[ {a{{\left( {x - a} \right)}^2} - a - 1} \right] + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {(x - a)^2}.\left[ {a{{(x - a)}^2} - 1} \right] - a{(x - a)^2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {a{{(x - a)}^2} - 1} \right]\left[ {{{(x - a)}^2} - 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a{(x - a)^2} = 1\\{(x - a)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a{(x - a)^2} = 1\;\;\;\;\;\left( 1 \right)\\x = 1 + a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)\\x =  - 1 + a\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( 3 \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Nếu \(a < 0\)  thì phương trình (1) vô nghiệm, do đó \(1 + a\) và \( - 1 + a\)  đều phải \( > 0.\)  

Do vậy \(a > 1.\)  Điều này là vô lý.

Nếu \(a > 0\)  thì phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {\left( {x - a} \right)^2} = \frac{1}{a} \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| = \frac{{\sqrt a }}{a} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt a }}{a} + 1\\x =  - \frac{{\sqrt a }}{a} + 1\end{array} \right..\)  

Do \(a + \frac{1}{{\sqrt a }} > 0\)

và \(1 + a > 0\)  nên nếu 2 nghiệm còn lại phải có cả nghiệm âm, nghiệm dương thì

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l} - 1 + a < 0\\\frac{{ - 1}}{{\sqrt a }} + a > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 + a > 0\\\frac{{ - 1}}{{\sqrt a }} + a < 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < 1\\a\sqrt a  > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\a\sqrt a  < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a < 1\\a > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\0 < a < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow a \in \emptyset .\)

Do vậy:  cả 4 nghiệm đều \( > 0\)  nên: \(a > 1.\)  

Vậy \(a > 1\)  là điều cần tìm.

b)     Ta có ngay :

  \(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{a + 1}} + \frac{{2017}}{{2017 + b}} + \frac{{2018}}{{2018 + c}} \le 1}\\{ \Leftrightarrow \frac{c}{{c + 2018}} \ge \frac{1}{{a + 1}} + \frac{{2017}}{{2017 + b}}}\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :

\(\frac{c}{{c + 2018}} \ge \frac{1}{{a + 1}} + \frac{{2017}}{{2017 + b}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{a + 1}}.\frac{{2017}}{{2017 + b}}} \)

Chứng minh hoàn toàn tương tự :

 \(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{b}{{2017 + b}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{1 + a}}.\frac{{2018}}{{2018 + c}}} }\\{\frac{a}{{a + 1}} \ge 2\sqrt {\frac{{2017}}{{2017 + b}}.\frac{{2018}}{{2018 + c}}} }\end{array}\)

Nhân vế với vế ta có : \(abc \ge 8.2017.2018\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của abc là 8.2017.2018, đạt tại a = 2, b = 4034, c= 4036.

Chọn D