Cho đường tròn (O) với tâm O, bán kính R và đường...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Áp dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh tứ giác nội tiếp.

+) Từ tính chất của tứ giác nội tiếp suy ra các góc tương ứng bằng nhau để chứng minh các cặp tam giác đồng dạng và chứng minh các đẳng thức đề bài yêu cầu.

Giải chi tiết:

a)     Ta xét tam giác BNF có BC, NM và EF lần lượt là các đường cao kẻ từ B, N và F

Mà BC và MN cắt nhau tại A hay A là trực tâm của tam giác BNF.

\(\Rightarrow \) EF đi qua A hay A, E, F thẳng hàng.  (đpcm).

b)     Trong tứ giác MENF có: \(\widehat{NMF}=\widehat{\text{NEF}}={{90}^{0}}\) nên tứ giác này là tứ giác nội tiếp.

Theo tính chất các đường cát tuyến ta có: AM . AN = AE. AF.

Dễ có:

\(\Delta C\text{AF}\sim \Delta \text{EAB(g}\text{.g)}\Rightarrow \frac{AC}{AE}=\frac{AF}{AB}\Leftrightarrow AC.AB=\text{AF}\text{.AE=AO}\text{.AB=2}{{\text{R}}^{2}}.\)

Ta có điều phải chứng minh.

c)     Ta có:

\(\begin{align}  & \Delta C\text{AF}\sim \Delta \text{EAB(g}\text{.g)}\Rightarrow \widehat{NBC}=\widehat{CFA} \\ & \Delta C\text{AF}\sim \Delta CBN\text{(g}\text{.g)}\Rightarrow \text{CF}\text{.CN=CA}\text{.CB=3}{{\text{R}}^{2}} \\ & {{S}_{BNF}}=\frac{1}{2}BC.FN=\frac{1}{2}3R.FN=\frac{1}{2}3R(CF+CN) \\\end{align}\)

Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: \(CF+CN\ge 2\sqrt{CF.CN}=2\sqrt{3}R.\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi CF = CN hay BC là trung tuyến, đồng thời BC cũng là đường cao nên khi và chỉ khi tam giác BFN cân tại B.

Ta lại có : \(BA=\frac{2}{3}BC\) nên A là trọng tâm tam giác BFN và theo câu a) A là trực tâm của tam giác nên suy ra tam giác BFN đều. Suy ra :

\(\widehat{CBF}={{30}^{0}}\Rightarrow \widehat{ABM}={{30}^{0}}.\)

Vậy để diện tích tam giác BNF nhỏ nhất thì M thuộc đường tròn (O) sao cho : \(\widehat{ABM}={{30}^{0}}.\)