Tìm số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z-2 \right|=\l...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi \(z=a+bi\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right).\) Sử dụng giả thiết để tìm \(a,b\) do đó tìm được \(z.\)

Giải chi tiết:

Giả sử \(z=a+bi.\) Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2} \right| = \left| z \right|\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {z + 1} \right)\left( {\overline z - i} \right)} \right] = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {z - 2} \right|^2} = {\left| z \right|^2}\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {z + 1} \right)\left( {\overline z - i} \right)} \right] = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {\left( {a + bi} \right) - 2} \right|^2} = {\left| {a + bi} \right|^2}\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {a + bi + 1} \right)\left( {\overline {a + bi} - i} \right)} \right] = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left| {\left( {a + bi} \right) - 2} \right|^2} = {\left| {a + bi} \right|^2}\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {a + 1 + bi} \right)\left( {a - \left( {b + 1} \right)i} \right)} \right] = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} + {b^2} = {a^2} + {b^2}\\{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {\left( {{a^2} + {b^2} + a + b} \right) - i\left( {a + b + 1} \right)} \right] = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 4a + 4 = {a^2}\\a + b + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 2\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy \(z=a+bi=1-2i.\)

Chọn đáp án D.