Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông c...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp dựng khoảng cách từ chân đường vuông góc dến một mặt phẳng.

Giải chi tiết:

Gọi G là trọng tâm của \(\Delta ABC \Rightarrow SG \bot \left( {ABC} \right)\)

Trong (ABC) kẻ \(GE \bot AC\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AC \bot GE\\AC \bot SG\left( {SG \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AC \bot \left( {SGE} \right)\) 

Trong (SGE) kẻ \(GH \bot SE\)

Có: \(\left. \begin{array}{l}GH \bot SE\\GH \bot AC\left( {AC \bot \left( {SGE} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow GH \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow d\left( {G;\left( {SAC} \right)} \right) = GH\)

Tam giác ABC vuông cận tại C nên \(CA = CB = \dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}GE \bot AC\\BC \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow GE//BC \Rightarrow \frac{{GE}}{{BC}} = \dfrac{{NG}}{{NB}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow GE = \dfrac{1}{3}BC = \dfrac{{3a}}{{3\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\)

Xét tam giác vuông BCN có: \(BN = \sqrt {B{C^2} + C{N^2}}  = \sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{2} + \dfrac{{9{a^2}}}{8}}  = \dfrac{{3\sqrt 5 a}}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{{\sqrt 5 a}}{{\sqrt 2 }}\)

Vì \(SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot BG \Rightarrow \Delta SBG\) vuông tại G \( \Rightarrow SG = \sqrt {S{B^2} - B{G^2}}  = \sqrt {\dfrac{{14{a^2}}}{4} - \dfrac{{5{a^2}}}{2}}  = a\) 

Vì \(SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot GE \Rightarrow \Delta SGE\)vuông tại G \( \Rightarrow \dfrac{1}{{G{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{G^2}}} + \dfrac{1}{{G{E^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}} \Rightarrow GH = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)

Chọn B.