Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằn...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi OO’ là trục của hình trụ. Kẻ \(AA'//BB'//OO'\) (hai điểm A’ và B’ nằm trên đáy chứa C, D)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot AA'\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {AA'D} \right) \Rightarrow CD \bot A'D\)

Tương tự ta chứng minh được \(CD \bot B'C\)\( \Rightarrow A'D//B'C\)

Có:\(A'B'//AB \Rightarrow A'B'//CD\)

\( \Rightarrow A'B'CD\) là hình bình hành có 1 góc vuông \( \Rightarrow A'B'CD\) là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đáy

\( \Rightarrow O' = A'C \cap B'D \Rightarrow A'C = B'D = 2a\)

Đặt \(AB = BC = CD = DA = x\)

Xét tam giác vuông BB’C có: \(B'{C^2} = B{C^2} - BB{'^2} = {x^2} - {a^2}\)

Xét tam giác vuông B’CD có: \(B'{C^2} = B'{D^2} - C{D^2} = {\left( {2a} \right)^2} - {x^2} = 4{a^2} - {x^2}\)

Suy ra \({x^2} - {a^2} = 4{a^2} - {x^2} \Leftrightarrow 2{x^2} = 5{a^2} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\)

Vậy \({S_{ABCD}} = {x^2} = \dfrac{{5{a^2}}}{2}\)

Chọn A.