Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh \(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm tam giác đều ABC.  Qua O kẻ đường thẳng \(d//SA\)

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SA.  Qua N kẻ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng d tại I.

\(I \in d \Rightarrow IA = IB = IC\)

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AM \Rightarrow IN \bot SA \Rightarrow IN\)là trung trực của SA\( \Rightarrow IS = IA\)

\(IS = IA = IB = IC \Rightarrow I\) là tâm khối cầu ngoại tiếp chóp chóp S. ABC

Dễ thấy AOIN là hình chữ nhật\( \Rightarrow IO = AN = \dfrac{1}{2}SA = a\)

Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Xét tam giác vuông AIO có: \(IA = \sqrt {I{O^2} + A{O^2}}  = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2. 3}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \,\left( {cm} \right) = R\)

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp là: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {2\sqrt 3 } \right)^3} = 32\pi \sqrt 3 \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)

Chọn A.