Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh \(...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Gọi O là tâm tam giác đều ABC.  Qua O kẻ đường thẳng $d//SA$

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d \bot \left( {ABC} \right)$.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SA.  Qua N kẻ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng d tại I.

$I \in d \Rightarrow IA = IB = IC$

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AM \Rightarrow IN \bot SA \Rightarrow IN$là trung trực của SA$\Rightarrow IS = IA$

$IS = IA = IB = IC \Rightarrow I$ là tâm khối cầu ngoại tiếp chóp chóp S. ABC

Dễ thấy AOIN là hình chữ nhật$\Rightarrow IO = AN = \dfrac{1}{2}SA = a$

Tam giác ABC đều cạnh a nên $AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Xét tam giác vuông AIO có: $IA = \sqrt {I{O^2} + A{O^2}}  = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2. 3}}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \,\left( {cm} \right) = R$

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp là: $V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {2\sqrt 3 } \right)^3} = 32\pi \sqrt 3 \,\,\left( {c{m^3}} \right)$

Chọn A.