Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hai đ...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Xác định VTCP của đường thẳng d : \({{\overrightarrow{u}}_{d}}=\left( \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} \right)\)

+) Gọi I là tâm dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có \(BC.\overrightarrow{IA}+CA.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\,\), thay vào tìm tọa độ điểm I.

+) Viết phương trình chính tắc của đoạn thẳng biết 1 điểm đi qua và 1 VTCP : \(\frac{x-{{x}_{0}}}{a}=\frac{y-{{y}_{0}}}{b}=\frac{z-{{z}_{0}}}{c}\)

Giải chi tiết:

Ta có \({{\overrightarrow{n}}_{\left( P \right)}}=\left( \overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB} \right)=k\left( 1;-\,2;2 \right)\)

Vì \(d\bot \left( OAB \right)\Rightarrow \) Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(\vec{u}=\left( 1;-\,2;2 \right).\)

Gọi \(I\left( {{x}_{I}};{{y}_{I}};{{z}_{I}} \right)\) là tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta \,ABC,\) ta có đẳng thức vectơ sau:

\(BC.\overrightarrow{IA}+CA.\overrightarrow{IB}+AB.\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\,\,\Rightarrow \,\,\)Tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{align}  & {{x}_{I}}=\frac{BC.{{x}_{A}}+CA.{{x}_{B}}+AB.{{x}_{C}}}{BC+CA+AB} \\  & {{y}_{I}}=\frac{BC.{{y}_{A}}+CA.{{y}_{B}}+AB.{{y}_{C}}}{BC+CA+AB} \\  & {{z}_{I}}=\frac{BC.{{z}_{A}}+CA.{{z}_{B}}+AB.{{z}_{C}}}{BC+CA+AB} \\ \end{align} \right.\)

Khi đó, xét tam giác \(ABO\) \(\Rightarrow \) Tâm nội tiếp của tam giác là \(I\left( 0;1;1 \right).\)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là \(\left( d \right):\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{-\,2}=\frac{z+1}{2}\)

Chọn A.