Cho phương trình: 

- Hướng dẫn giải

a, $x^2-2(m+1)x+m^2+m-1=0$ (1)

Với m = 0, phương trình (1) trở thành:

 $$\begin{gathered} x^2-2x-1=0 \\ \Delta \text{'}=2\text{ ; }{x}_{1,2}=1\pm \sqrt{2} \end{gathered}$$

Vậy với m = 2 thì nghiệm của phương trình (1) là $x_{1,2}=1\pm \sqrt{2}$

b) $\Delta \text{'}=m+2$

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\iff m>-2$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2(m+1)\\ x_1{x}_2=m^2+m-1\end{array}\right.$

Do đó:

$\begin{array}{l}\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=4\iff \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=4\iff \frac{2(m+1)}{m^2+m-1}=4\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+m-1\ne 0\\ m+1=2(m^2+m-1)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{m}^2+m-1\ne 0\\ 2m^2+m-3=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m=1\\ m=-\frac{3}{2}\end{array}\right.\end{array}$

Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow m\in \left\{1;-\frac{3}{2}\right\}$ là các giá trị cần tìm.