Cho các số thực a, b, c

- Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có:

$a^2+b^2\ge 2ab, b^2+c^2\ge 2bc, c^2+a^2\ge 2ca$ 

Do đó: $2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge 2(ab+bc+ca)=2.9=18\Rightarrow 2P\ge 18\Rightarrow P\ge 9$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{3}$. Vậy MinP= 9 khi $a=b=c=\sqrt{3}$

Vì $a, b, c \ge 1$, nên $(a-1)(b-1)\ge 0\iff ab-a-b+1\ge 0\iff ab+1\ge a+b$

Tương tự ta có $bc+1\ge b+c, ca+1\ge c+a$ 

Do đó $ab+bc+ca+3\ge 2(a+b+c)\iff a+b+c\le \frac{9+3}{2}=6$

Mà  $P=a^2+b^2+c^2={\left(a+b+c\right)}^2-2\left(ab+bc+ca\right)={\left(a+b+c\right)}^2–18$

$\Rightarrow P\le 36-18=18$. Dấu bằng xảy ra khi : $\left\{\begin{array}{l}a=4;b=c=1\\ b=4;a=c=1\\ c=4;a=b=1\end{array}\right.$

Vậy maxP= 18 khi : $\left\{\begin{array}{l}a=4;b=c=1\\ b=4;a=c=1\\ c=4;a=b=1\end{array}\right.$