Cho \(x,y\) là các số thực không âm. Giá trị lớn n...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si từ trung bình cộng sang trung bình nhân \({{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}\ge ab\) với \(a=\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)},\,\,\,b=\frac{1-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}\)

Giải chi tiết:

Ta có \({{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}\ge ab,\,\,\forall a,b\,\,\left( 1 \right).\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b.\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\left( 1 \right)\) cho \(a=\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)},\,\,\,b=\frac{1-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}\) ta nhận được

\(P=\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}.\frac{1-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}\le \frac{1}{4}{{\left( \frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}{{\left( \frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 1-{{y}^{2}} \right)}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)} \right)}^{2}}=\frac{1}{4}{{\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}.\)

Mặt khác ta lại có \(\frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}}\le 1,\,\,\forall y\) nên \(P\le \frac{1}{4}.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - {y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}} = \frac{{1 - {x^2}{y^2}}}{{\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {y^2}} \right)}}\\{\left( {1 - {y^2}} \right)^2} = {\left( {1 + {y^2}} \right)^2}\\x \ge 0,\,y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\)

Chọn đáp án A.