Cho \(y=\frac{3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+6}{{{x}^{4}}+{...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Biể thức y xác định \(\Leftrightarrow pt\,\,3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+6=y\left( {{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1 \right)\) có nghiệm. Tìm điều kiện của y để phương trình có nghiệm ta sẽ tìm được tập giá trị của y tức là tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y.

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Đặt \(a={{x}^{2}}\ge 0.\) Khi đó ta có

\(y=\frac{3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+6}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}=\frac{3{{a}^{2}}-2a+6}{{{a}^{2}}+a+1}\Leftrightarrow y\left( {{a}^{2}}+a+1 \right)=3{{a}^{2}}-2a+6\Leftrightarrow \left( y-3 \right){{a}^{2}}+\left( y+2 \right)a+\left( y-6 \right)=0\,\,\left( 1 \right).\)

\(y\) thỏa mãn \(y=\frac{3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+6}{{{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1}\) khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(a\ge 0.\)

Trường hợp 1. \(y=3\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(5a-1=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{5}>0.\)

Trường hợp 2. \(y\ne 3.\) Đặt \(S=\frac{2+y}{3-y};P=\frac{6-y}{3-y}\).

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi 

\(\left[ \begin{array}{l}P \le 0\,\,\left( I \right)\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\S \ge 0\\P \ge 0\end{array} \right.\,\,\left( {II} \right).\end{array} \right.\)

Trường hợp \(\left( I \right)\) ta có: 

\(P \le 0 \Leftrightarrow \frac{{6 - y}}{{3 - y}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{\left( {6 - y} \right)\left( {3 - y} \right)}}{{{{\left( {3 - y} \right)}^2}}} \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {y - 3} \right)\left( {y - 6} \right) \le 0\\y \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 < y \le 6.\)

Xét trường hợp \(\left( II \right)\) \(\left\{ \begin{align}  & \Delta \ge 0 \\  & S\ge 0 \\  & P\ge 0 \\ \end{align} \right.\,\)

Ta có 

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {y + 2} \right)^2} - 4\left( {y - 3} \right)\left( {y - 6} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {{y^2} + 4y + 4} \right) - \left( {4{y^2} - 36y + 72} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow - 3{y^2} - 32y - 68 \le 0 \Leftrightarrow - 3\left( {{y^2} - \frac{{32}}{3}y - \frac{{68}}{3}} \right) \ge 0\,\,\\ \Leftrightarrow {y^2} - \frac{{32}}{3}y - \frac{{68}}{3} \le 0 \Leftrightarrow \left( {y - 2} \right)\left( {y - \frac{{34}}{3}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 2 \le y \le \frac{{34}}{3}.\end{array}\)

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}S \ge 0\\P \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2 + y}}{{3 - y}} \ge 0\\\frac{{6 - y}}{{3 - y}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left( {2 + y} \right)\left( {3 - y} \right)}}{{{{\left( {3 - y} \right)}^2}}} \ge 0\\\frac{{\left( {6 - y} \right)\left( {3 - y} \right)}}{{{{\left( {3 - y} \right)}^2}}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2 + y} \right)\left( {3 - y} \right) \ge 0\\\left( {6 - y} \right)\left( {3 - y} \right) \ge 0\\y \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 \le y < 3\\\left[ \begin{array}{l}y \ge 6\\y < 3\end{array} \right.\end{array} \right..\)

Kết hợp các điều trên với nhau ta nhận được phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm không âm khi và chỉ khi \(2\le y\le 6.\)

Với \(y=2.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 3-2 \right){{a}^{2}}-\left( 2+2 \right)a+\left( 6-2 \right)=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a+4=0\Leftrightarrow a=2\Leftrightarrow {{x}^{2}}=2\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}.\)

Với \(y=6.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 3-6 \right){{a}^{2}}-\left( 2+6 \right)a+\left( 6-6 \right)=0\Leftrightarrow -3{{a}^{2}}-8a=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & a=0 \\  & a=-\frac{8}{3} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=0.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(y\)  là \(2\) đạt được tại \(x=\pm \sqrt{2},\) giá trị lớn nhất của \(y\) là \(6\) đạt được tại \(x=0.\)

Chọn đáp án A.