Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựng hình, xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng thông qua mặt phẳng song song với đường thẳng

Giải chi tiết:

 Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\Rightarrow \,\,SH\bot AB\Rightarrow \,\,SH\bot \left( ABCD \right).\)

Vì \(AB\)//\(CD\)\(\Rightarrow \,\,AB\)//\(\left( SCD \right)\)\(\Rightarrow \,\,d\left( AB;SC \right)=d\left( AB;\left( SCD \right) \right)=d\left( H;\left( SCD \right) \right).\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD,\) kẻ \(HK\bot SM\,\,\,\left( K\in SM \right)\)\(\Rightarrow \,\,HK\bot \left( SCD \right).\)

Tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\Rightarrow SH=\frac{1}{2}AB=a.\) Tam giác \(SHM\) vuông tại \(H,\) có : \(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{M}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{4{{a}^{2}}}=\frac{5}{4{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.\)

Vậy khoảng cách cần tính là \(d\left( AB;SC \right)=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.\)

Chọn D