Nghiệm của phương trình: \(\left( {x + 4} \right)\...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Trước tiên, ta tìm điều kiện để biểu thức trong căn có nghĩa. Tiếp theo, ta nhân phá ngoặc rồi áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ.

Đặt \(\sqrt {{x^2} + 5x + 2}  = t\left( {t \ge 0} \right)\), Khi tìm được giá trị của \(t\) ta thay ngược lại để tìm \(x\).

Giải chi tiết:

ĐK: \({x^2} + 5x + 2 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^2} - \frac{{17}}{4} \ge 0 \Leftrightarrow \left| {x + \frac{5}{2}} \right| \ge \frac{{\sqrt {17} }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge \frac{{\sqrt {17}  - 5}}{2}\\x \le \frac{{ - \sqrt {17}  - 5}}{2}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {x + 4} \right)\left( {x + 1} \right) - 3\sqrt {{x^2} + 5x + 2}  = 6\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 2 - 3\sqrt {{x^2} + 5x + 2}  = 6\\\Leftrightarrow {x^2} + 5x + 2 - 3\sqrt {{x^2} + 5x + 2}  - 4 = 0\left( * \right)\end{array}\)

 Đặt \(\sqrt {{x^2} + 5x + 2}  = t\left( {t \ge 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {t^2} - 3t - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {t^2} - 4t + t - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {t + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 4 = 0\\t + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 4\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 1\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

 Với \(t = 4\) ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} + 5x + 2}  = 4\\\Leftrightarrow {x^2} + 5x + 2 = 16\\ \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 14 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 7} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 7 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 7\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

 Vậy phương trình có hai nghiệm \(x = 2\) và \(x =  - 7.\)

Chọn C.