Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phươ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay x vào hàm số của parabol tìm y, từ đó suy ra tọa độ các điểm A, B.

b) Gọi phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là \(y=ax+b\)(d).

Thay tọa độ các điểm A, B vào phương trình đường thẳng (d), suy ra hệ phương trình và giải để tìm a, b.

c) +) Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua O và vuông góc với d.

+) Tìm giao điểm H của d và d’, khi đó khoảng cách từ O đến d là độ dài đoạn OH.

+) Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm.

Giải chi tiết:

a) Khi \(x=-1\Rightarrow y=\frac{1}{2}{{\left( -1 \right)}^{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow A\left( -1;\frac{1}{2} \right)\)

Khi \(x=2\Rightarrow y=\frac{1}{2}{{.2}^{2}}=2\Rightarrow B\left( 2;2 \right)\).

b) Gọi phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B là \(y=ax+b\)(d).

\(A\in d\Rightarrow \frac{1}{2}=-a+b;\,\,\ \ B\in d\Rightarrow 2=2a+b\)

Từ đó ta có hệ phương trình 

\(\left\{ \begin{array}{l}
- a + b = \frac{1}{2}\\
2a + b = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a = \frac{3}{2}\\
b = \frac{1}{2} + a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{2}\\
b = 1
\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường thẳng d đi qua A, B là \(y=\frac{1}{2}x+1\)

c) Gọi d’ là đường thẳng đi qua O và vuông góc với d ta có phương trình \(d':\,\,y=-2x\).

Gọi \(H=d\cap d'\Rightarrow \) Tọa độ của H là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
y = \frac{1}{2}x + 1\\
y = - 2x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2}x + 1 = - 2x\\
y = - 2x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{5}{2}x + 1 = 0\\
y = - 2x
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{2}{5}\\
y = \frac{4}{5}
\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - \frac{2}{5};\frac{4}{5}} \right)\)

\(\Rightarrow \) Khoảng cách từ O đến (d) bằng OH và \(OH=\sqrt{{{\left( -\frac{2}{5}-0 \right)}^{2}}+{{\left( \frac{4}{5}-0 \right)}^{2}}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}\).

Chọn C