Chóp \(S.ABC\), \(SA \bot \left( {ABC} \right),\,\...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Kẻ \(AH \bot BC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AH\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\).

Trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\) \( \Rightarrow BC \bot AK\).

Do đó \(AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK\).

Ta có: \(AM \cap \left( {SBC} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB}}{{MB}} = 2\).

\( \Rightarrow d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}AK\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{2{a^2}}} = \dfrac{3}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}}  = a\sqrt 3 \).

\({S_{\Delta SBC}} = \dfrac{1}{2}SH.BC \Rightarrow SH = \dfrac{{2{S_{\Delta SBC}}}}{{BC}} = \dfrac{{2.\dfrac{{{a^2}\sqrt {33} }}{6}}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{3}\).

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AH \Rightarrow \Delta SAH\) vuông tại \(A\).

\( \Rightarrow SA = \sqrt {S{H^2} - A{H^2}}  = \sqrt {\dfrac{{11{a^2}}}{9} - \dfrac{{2{a^2}}}{3}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAH\) có: \(AK = \dfrac{{SA.AH}}{{SH}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}}}{{\dfrac{{a\sqrt {11} }}{3}}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{3\sqrt {11} }}\).

Vậy \(d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{{6\sqrt {11} }} = \dfrac{{a\sqrt {330} }}{{66}}\).

Chọn A.