Cho đoạn thẳng AB = a, k là số dương cho trước. M...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp cung chứa góc.

Giải chi tiết:

Dựng MD và ME là phân giác trong và ngoài của góc \(\widehat{AMB}\) .

Suy ra \(MD\bot ME\).

Phần thuận: \(\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EB}=\frac{MA}{MB}=k\Rightarrow \frac{DA}{DA+DB}=\frac{k}{k+1}\Rightarrow DA=\frac{ak}{k+1}(1)\)

Tương tự, ta có: \(AE=\frac{ak}{k-1}(2)\)

Suy ra D, E cố định, \(\widehat{DME}={{90}^{0}}\). Suy ra M thuộc đường tròn đường kính DE.

Phần đảo: Lấy M trên đường tròn đường kính DE, qua B kẻ đường vuông góc với DM cắt MD, MA tại H và K. Suy ra BK//ME.

\(\Rightarrow \frac{BK}{EM}=\frac{AB}{AE}=\frac{k-1}{k},\frac{BH}{EM}=\frac{DB}{DE},DE=AE-AD=\frac{ak}{k-1}-\frac{ak}{k+1}=\frac{2ak}{{{k}^{2}}-1}\)

Từ (1) có \(DB=\frac{a}{k+1}\Rightarrow \frac{BH}{EM}=\frac{DB}{DE}=\frac{a}{k+1}.\frac{{{k}^{2}}-1}{2ak}=\frac{k-1}{2k}\Rightarrow 2\frac{BH}{EM}=\frac{BK}{EM}\)

\(\Rightarrow BK=2BH\Rightarrow HB=HK\Rightarrow \Delta MBK\) là tam giác cân \(\Rightarrow \) MD là phân giác của góc \(\widehat{AMB}\) và ME là phân giác ngoài của \(\widehat{AMB}\). Vậy \(\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB}=k\)

Kết luận: Quỹ tích các điểm M là đường tròn đường kính DE.

Chọn D.