Cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y=\left( {{...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Câu a: Thay $m=1$ vào phương trình đường thẳng (d), tìm giao điểm A, B của đường thẳng (d) với các trục tọa độ. Khi đó tam giác OAB là tam giác vuông tại O có diện tích: ${{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB.$

Câu b:  Cho hai đồ thị hàm số: ${{d}_{1}}:\,\,\,y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}};\,\,\,{{d}_{2}}:\,\,\,y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}$. Ta có:${{d}_{1}}//{{d}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\  & {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}} \\ \end{align} \right..$

Câu c: Xác định tọa độ giao điểm A và B của (d) với trục Ox, Oy theo m. Khi đó ta có tam giác OAB vuông tại O. Để tam giác OAB vuông cân thì $OA=OB.$

Giải chi tiết:

Giải:

a) Với $m=1$ ta có $\left( d \right):\,\,\,y=2x-1.$

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d) với Ox và Oy. Khi đó ta có: $A\left( \frac{1}{2};0 \right)$ và $B\left( 0;-1 \right).$

Khi đó: ${{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\left| -1 \right|=\frac{1}{4}\,\,\,\left( dvdt \right).$

b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng 

$y = 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 1 = 2\\m - 2 \ne - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\m \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\\m \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.$

Vậy với $m=1$ thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng $y=2x-3.$

c)  Gọi A và và B lần lượt là giao điểm của (d) với Ox và Oy. Khi đó ta có: $A\left( -\frac{m-2}{{{m}^{2}}+1};0 \right)$ và $B\left( 0;m-2 \right).$

Để $\Delta OAB$ vuông cân thì $OA=OB\Leftrightarrow \left| -\frac{m-2}{{{m}^{2}}+1} \right|=\left| m-2 \right|$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {m - 2} \right|}}{{{m^2} + 1}} = \left| {m - 2} \right| \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right|\left( {\frac{1}{{{m^2} + 1}} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\\frac{1}{{{m^2} + 1}} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\1 - {m^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 0\end{array} \right.\end{array}$

Vậy với $m=0$ hoặc $m=2$ thì $\Delta OAB$ vuông cân