Cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y=\left( {{...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Câu a: Thay \(m=1\) vào phương trình đường thẳng (d), tìm giao điểm A, B của đường thẳng (d) với các trục tọa độ. Khi đó tam giác OAB là tam giác vuông tại O có diện tích: \({{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB.\)

Câu b:  Cho hai đồ thị hàm số: \({{d}_{1}}:\,\,\,y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}};\,\,\,{{d}_{2}}:\,\,\,y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}}\). Ta có:\({{d}_{1}}//{{d}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\  & {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}} \\ \end{align} \right..\)

Câu c: Xác định tọa độ giao điểm A và B của (d) với trục Ox, Oy theo m. Khi đó ta có tam giác OAB vuông tại O. Để tam giác OAB vuông cân thì \(OA=OB.\)

Giải chi tiết:

Giải:

a) Với \(m=1\) ta có \(\left( d \right):\,\,\,y=2x-1.\)

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d) với Ox và Oy. Khi đó ta có: \(A\left( \frac{1}{2};0 \right)\) và \(B\left( 0;-1 \right).\)

Khi đó: \({{S}_{OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\left| -1 \right|=\frac{1}{4}\,\,\,\left( dvdt \right).\)

b) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng 

\(y = 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 1 = 2\\m - 2 \ne - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\m \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\\m \ne - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1.\)

Vậy với \(m=1\) thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng \(y=2x-3.\)

c)  Gọi A và và B lần lượt là giao điểm của (d) với Ox và Oy. Khi đó ta có: \(A\left( -\frac{m-2}{{{m}^{2}}+1};0 \right)\) và \(B\left( 0;m-2 \right).\)

Để \(\Delta OAB\) vuông cân thì \(OA=OB\Leftrightarrow \left| -\frac{m-2}{{{m}^{2}}+1} \right|=\left| m-2 \right|\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {m - 2} \right|}}{{{m^2} + 1}} = \left| {m - 2} \right| \Leftrightarrow \left| {m - 2} \right|\left( {\frac{1}{{{m^2} + 1}} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 2 = 0\\\frac{1}{{{m^2} + 1}} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\1 - {m^2} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy với \(m=0\) hoặc \(m=2\) thì \(\Delta OAB\) vuông cân