Cho parabol \((P): \, y=x^2\) và đường thẳng \( d:...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (P) và đường thẳng d là:

\( \eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} = 4x + 2m \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 2m = 0\,\,\,\left( * \right) \cr} \)

Có  \( \Delta ' = 4 + 2m.\)

a) d tiếp xúc với (P) \(\Leftrightarrow\) phương trình (*) có nghiệm kép  \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 4 + 2m = 0 \Leftrightarrow m =  - 2.\)

Vậy với \(m = – 2\) thì d tiếp xúc với (P).

b) d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \(\Leftrightarrow\) phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4 + 2m > 0 \Leftrightarrow m >  - 2.\)

 Vậy với \(m>-2\) thì d cắt (P) tại hai nghiệm phân biệt.

Khi \(m=\frac{3}{2}\) ta có phương trình  \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 3 = 0\)

Có  \(\Delta ' = 4 + 3 = 7.\)

 \( \Rightarrow \left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt   và  

+) Với \({x_1} = 2 + \sqrt 7 \) ta có:  \( y = 4\left( {2 + \sqrt 7 } \right) + 3 = 11 + 4\sqrt 7  \Rightarrow A\left( {2 + \sqrt 7 ;\,11 + 4\sqrt 7 } \right).\)

+) Với \({x_2} = 2 - \sqrt 7 \) ta có:  \( y = 4\left( {2 - \sqrt 7 } \right) + 3 = 11 - 4\sqrt 7  \Rightarrow B\left( {2 - \sqrt 7 ;\,11 +-4\sqrt 7 } \right).\)

Vậy với \(m=\frac{3}{2}\) thì d cắt (P) tại hai điểm phân biệt \( A\left( {2 + \sqrt 7 ;\,11 + 4\sqrt 7 } \right)  \) và \( B\left( {2 - \sqrt 7 ;\,11 - 4\sqrt 7 } \right)  \) .

Chọn D.