Cho phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương trình bậc hai có hai nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  \ge 0\)

Biến đổi điều kiện đề bài để được phương trình chỉ chứa \({x_1} + {x_2}\) và \({x_1}{x_2}\) từ đó sử dụng định lý Vi-ét, giải phương trình để tìm \(m.\)

Giải chi tiết:

Có: \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} - m} \right) = {m^2} - 2m + 1 - {m^2} + m =  - m + 1\)

Để phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\;\;{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow  - m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + {x_1}} \right)^2} + {\left( {1 + {x_2}} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow 1 + 2{x_1} + x_1^2 + 1 + 2{x_2} + x_2^2 = 6\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^2 + x_2^2} \right) + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {m - 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - m} \right) + 4\left( {m - 1} \right) - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} - 8m + 4 - 2{m^2} + 2m + 4m - 4 - 4 = 0\\ \Leftrightarrow 2{m^2} - 2m - 4 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 2} \right) + m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m =  - 1\end{array} \right..\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \( \Rightarrow m =  - 1\) là giá trị cần tìm.

Chọn A.