Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{align}  &amp...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thay \(m=2\) vào hệ phương trình và sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để giải hệ phương trình.

b) Hệ phương trình: \(\left\{ \begin{align}  & {{a}_{1}}x+{{b}_{1}}y={{c}_{1}} \\ & {{a}_{2}}x+{{b}_{2}}y={{c}_{2}} \\\end{align} \right.\) có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow \frac{{{a}_{1}}}{{{a}_{2}}}\ne \frac{{{b}_{1}}}{{{b}_{2}}}.\)

c) Giải hệ phương trình đã cho, tìm x, y theo m. Sau đó thế x, y vào biểu thức A. Biến đổi biểu thức A về dạng: \(A={{\left( a+b \right)}^{2}}+C\ge C\,\,\,\forall m.\) Tìm m để dấu “=” xảy ra sau đó kết luận.

Giải chi tiết:

a)     Với m = 2, hệ (1) trở thành:

\({\rm{ }}\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 1\\
2x + y = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 1\\
4x + 2y = 24
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x = 25\\
2x + y = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
2.5 + y = 12
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 5\\
y = 2
\end{array} \right.\)

Vậy với m = 2 thì nghiệm của hệ (1) là (5; 2).

b)     Ta thấy: \(\frac{1}{2}\ne \frac{-2}{1}\)\(\Rightarrow \) Hệ (1) luôn có nghiệm duy nhất với mọi m.

c) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 3 - m\\
2x + y = 3(m + 2)
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x - 4y = 6 - 2m\\
2x + y = 3m + 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2y = 3 - m\\
5y = 5m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2m = 3 - m\\
y = m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = m + 3\\
y = m
\end{array} \right.\)

Do đó: \(A={{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\left( m+3 \right)}^{2}}+{{m}^{2}}=2{{m}^{2}}+6m+9=2{{\left( m+\frac{3}{2} \right)}^{2}}+\frac{9}{2}\ge \frac{9}{2}\text{ }\forall m\)

Dấu “=” xảy ra \(\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}\)

Vậy \(\min A=\frac{9}{2}\Leftrightarrow m=-\frac{3}{2}\)