Cho \({{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ, đưa về giải phương trình mũ (dạng đẳng cấp bậc hai)

Giải chi tiết:

Đặt \({{\log }_{9}}x={{\log }_{12}}y={{\log }_{16}}\left( x+3y \right)=t\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  x={{9}^{t}} \\  y={{12}^{t}} \\ \end{align} \right.\) và \(x+3y={{16}^{t}}.\)

Suy ra \({{9}^{t}}+{{3.12}^{t}}={{16}^{t}}\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{t}} \right)}^{2}}+{{3.3}^{t}}{{.4}^{t}}-{{\left( {{4}^{t}} \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow {{\left[ {{\left( \frac{3}{4} \right)}^{t}} \right]}^{\,2}}+3.{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{t}}-1=0\)

\(\Leftrightarrow \,\,{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{t}}=\frac{-\,3+\sqrt{13}}{2}\Leftrightarrow \,\,\frac{x}{y}=\frac{{{9}^{t}}}{{{12}^{t}}}={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{t}}=\frac{-\,3+\sqrt{13}}{2}.\)

Chọn D