Cho \(\Delta ABC\) có \(A{\rm{D}}\)  là phân giác...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành, hình thoi, hình vuông, tính chất các hình đó.

Giải chi tiết:

a. Xét tứ giác \(AFDE\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}A{\rm{E}}//AF\\DF//A{\rm{E}}\end{array} \right.\left( {gt} \right) \Rightarrow AFDE\) là hình bình hành (dhnb)

Lại có, \(A{\rm{D}}\) là phân giác của \(\angle BAC\;\left( {gt} \right) \Rightarrow \) hình bình hành \(AFDE\) là hình thoi (dhnb)

b. Vì \(AFDE\) là hình thoi (cmt)

\( \Rightarrow E{\rm{D}} = AF\) (tính chất hình thoi)

Mà \(F\)  là trung điểm của \(AG\left( {gt} \right) \Rightarrow AF = FG\) (tính chất trung điểm) \( \Rightarrow E{\rm{D}} = GF\left( { = AF} \right).\)

Mà \(GF//E{\rm{D}}\left( {gt} \right) \Rightarrow FEDG\) là hình hình hành (dhnb)

c. Vì \(I\)  là điểm đối xứng của \(D\)  qua \(F\)(gt) \( \Rightarrow F\) là trung điểm của \(I{\rm{D}}\) (tính chất hai điểm đối xứng qua một điểm)

Xét tứ giác \(AIG{\rm{D}}\) có \(AG\) và \(DI\) cắt nhau tại trung điểm \(F\) của mỗi đường (cmt)

\( \Rightarrow AIG{\rm{D}}\) là hình bình hành (dhnb)

\( \Rightarrow AI//G{\rm{D}}\) (tính chất)

\( \Rightarrow G{\rm{D}}//AK\) (do \(I,\,A,\,K\) thẳng hàng) (1)

Lại có, \(DE//AB\left( {gt} \right) \Rightarrow DK//AG\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AK{\rm{D}}G\) là hình bình hành (dhnb)

Mà hai đường chéo \(A{\rm{D}},\,GK\) cắt nhau tại trung điểm O nên suy ra \(G\) đối xứng với \(K\) qua \(O\). (đpcm)

d. Hình thoi \(IA{\rm{D}}G\) là hình vuông khi và chỉ \(\angle IA{\rm{D}} = {90^0} \Leftrightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\).

Thật vậy, ta có: \(IA{\rm{D}}G\) là hình vuông nên suy ra \(\angle BA{\rm{D}} = {45^0}\)

  mà AD là phân giác của \(\angle BAC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle BAC = 2\angle BA{\rm{D}} = {2.45^0} = {90^0} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại A.