Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kín...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: “Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) thì nó là tứ giác nội tiếp”.

b) Lần lượt chứng minh \(\widehat {MCA} = \widehat {MBA}\) và \(\widehat {ACK} = \widehat {MBA}\) rồi sử dụng tính chất bắc cầu suy ra điều phải chứng minh.

c) Chứng minh \(\Delta CMA = \Delta CEB \Rightarrow CM = CE\).

Chứng minh \(\Delta MCE\) vuông cân tại \(C \Rightarrow ME = 2CP\).

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác CHKB là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BCHK có:

\(\widehat {HCB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\widehat {HKB} = {90^0}\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \widehat {HCB} + \widehat {HKB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

Vậy tứ giác \(CHKB\) là tứ giác nội tiếp (đpcm).

b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK.

- Tứ giác BCHK nội tiếp nên \(\widehat {ACK} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(HK\)).

- \(\widehat {MCA} = \widehat {MBA}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung MA của đường tròn tâm (O)).

Do đó \(\widehat {ACK} = \widehat {MBA} = \widehat {MCA}\) hay \(CA\) là tia phân giác của \(\widehat {MCK}\) (đpcm).

c) Chứng minh ME = 2CP.

Xét \(\Delta CMA\) và \(\Delta CEB\) có:

\(MA = EB\left( {gt} \right)\)

\(\widehat {MAC} = \widehat {EBC}\) (cùng chắn cung MC của đường tròn (O))

\(CA = CB\) (\(\Delta CAB\) vuông cân)

Do đó \(\Delta CMA = \Delta CEB\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow CM = CE\) (cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta CME\) cân tại \(C\).

Lại có \(\widehat {CMB} = \widehat {CAB} = {45^0}\) (cùng chắn cung \(CB\)) nên \(\widehat {CEM} = {45^0} \Rightarrow \widehat {MCE} = {90^0}\).

Vậy \(\Delta CME\) vuông cân tại \(C\).

Mà \(CP \bot ME\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(CP\) là đường cao và cũng là đường trung tuyến của \(\Delta CME\).

Do đó \(PM = PE = CP \Rightarrow ME = 2CP\) (đpcm).