Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ bán kín...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: “Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng ${180^0}$ thì nó là tứ giác nội tiếp”.

b) Lần lượt chứng minh $\widehat {MCA} = \widehat {MBA}$ và $\widehat {ACK} = \widehat {MBA}$ rồi sử dụng tính chất bắc cầu suy ra điều phải chứng minh.

c) Chứng minh $\Delta CMA = \Delta CEB \Rightarrow CM = CE$.

Chứng minh $\Delta MCE$ vuông cân tại $C \Rightarrow ME = 2CP$.

Giải chi tiết:

a) Chứng minh tứ giác CHKB là tứ giác nội tiếp.

Xét tứ giác BCHK có:

$\widehat {HCB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\widehat {HKB} = {90^0}$ (giả thiết)

$\Rightarrow \widehat {HCB} + \widehat {HKB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$.

Vậy tứ giác $CHKB$ là tứ giác nội tiếp (đpcm).

b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK.

- Tứ giác BCHK nội tiếp nên $\widehat {ACK} = \widehat {MBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $HK$).

- $\widehat {MCA} = \widehat {MBA}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MA của đường tròn tâm (O)).

Do đó $\widehat {ACK} = \widehat {MBA} = \widehat {MCA}$ hay $CA$ là tia phân giác của $\widehat {MCK}$ (đpcm).

c) Chứng minh ME = 2CP.

Xét $\Delta CMA$ và $\Delta CEB$ có:

$MA = EB\left( {gt} \right)$

$\widehat {MAC} = \widehat {EBC}$ (cùng chắn cung MC của đường tròn (O))

$CA = CB$ ($\Delta CAB$ vuông cân)

Do đó $\Delta CMA = \Delta CEB\left( {c.g.c} \right)$

$\Rightarrow CM = CE$ (cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta CME$ cân tại $C$.

Lại có $\widehat {CMB} = \widehat {CAB} = {45^0}$ (cùng chắn cung $CB$) nên $\widehat {CEM} = {45^0} \Rightarrow \widehat {MCE} = {90^0}$.

Vậy $\Delta CME$ vuông cân tại $C$.

Mà $CP \bot ME\,\,\left( {gt} \right)$ nên $CP$ là đường cao và cũng là đường trung tuyến của $\Delta CME$.

Do đó $PM = PE = CP \Rightarrow ME = 2CP$ (đpcm).