Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(xy + 1 \l...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Ta có: \(xy + 1 \le x,\,\,(x,y > 0) \Leftrightarrow y + \frac{1}{x} \le 1\)

Áp dụng BĐT Cô si, ta có:  \(y + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt {y.\frac{1}{x}}  = 2\sqrt {\frac{y}{x}}  \Rightarrow 1 \ge 2\sqrt {\frac{y}{x}}  \Leftrightarrow 0 < \frac{y}{x} \le \frac{1}{4}\)

\(Q = \frac{{x + y}}{{\sqrt {3{x^2} - xy + {y^2}} }} = \frac{{1 + \frac{y}{x}}}{{\sqrt {3 - \frac{y}{x} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}}} }}\) . Đặt \(\frac{y}{x} = a,\,\,0 < a \le \frac{1}{4}\), ta có:

\(Q = \frac{{1 + a}}{{\sqrt {3 - a + {a^2}} }} = \sqrt {\frac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} - a + 3}}} \) , \(0 < a \le \frac{1}{4}\)

Ta chứng minh: \(\frac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} - a + 3}} \le \frac{5}{9}\,\,(*),\,\,\forall 0 < a \le \frac{1}{4}\)

\(\left( * \right) \Leftrightarrow 9({a^2} + 2a + 1) \le 5({a^2} - a + 3)\) ( do \({a^2} - a + 3 > 0,\,\,\forall a\))

\( \Leftrightarrow 4{a^2} + 23a - 6 \le 0 \Leftrightarrow 4{a^2} - a + 24a - 6 \le 0 \Leftrightarrow a(4a - 1) + 6(4a - 1) \le 0 \Leftrightarrow (4a - 1)(a + 6) \le 0\)

Do \(0 < a \le \frac{1}{4}\) \( \Rightarrow 4a - 1 \le 0,\,\,a + 6 > 0 \Rightarrow (4a - 1)(a + 6) \le 0\)

\( \Rightarrow \frac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} - a + 3}} \le \frac{5}{9}\,\,,\,\,\forall 0 < a \le \frac{1}{4}\)

\( \Rightarrow Q = \sqrt {\frac{{{a^2} + 2a + 1}}{{{a^2} - a + 3}}}  \le \sqrt {\frac{5}{9}}  = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\),\(\forall 0 < a \le \frac{1}{4}\)

Vậy, \({Q_{max}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) khi và chỉ khi \(a = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{x} = \frac{1}{4}\\y + \frac{1}{x} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\)