Cho phương trình \({z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z +...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Viết lại vế trái của phương trình: \(f\left( z \right) = {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 9 = \left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_2}} \right)\left( {z - {z_3}} \right)\left( {z - {z_4}} \right)\)

- Biến đổi \(T\) làm xuất hiện các tích \(\left( {w - {z_1}} \right)\left( {w - {z_2}} \right)\left( {w - {z_3}} \right)\left( {w - {z_4}} \right)\), ở đó \(w\) là một số phức đã biết và tính \(f\left( w \right)\) suy ra kết quả.

Giải chi tiết:

Đặt \(f\left( z \right) = {z^4} - 2{z^3} + 6{z^2} - 8z + 9 = \left( {z - {z_1}} \right)\left( {z - {z_3}} \right)\left( {z - {z_3}} \right)\left( {z - {z_4}} \right)\)

Khi đó

\(\begin{array}{l}T = \left( {z_1^2 + 4} \right)\left( {z_2^2 + 4} \right)\left( {z_3^2 + 4} \right)\left( {z_4^2 + 4} \right)\\\,\,\,\, = \left( {{z_1} - 2i} \right)\left( {{z_1} + 2i} \right)\left( {{z_2} - 2i} \right)\left( {{z_2} + 2i} \right)\left( {{z_3} - 2i} \right)\left( {{z_3} + 2i} \right)\left( {{z_4} - 2i} \right)\left( {{z_4} + 2i} \right)\\\,\,\,\, = \left[ {\left( {{z_1} - 2i} \right)\left( {{z_2} - 2i} \right)\left( {{z_3} - 2i} \right)\left( {{z_4} - 2i} \right)} \right]\left[ {\left( {{z_1} + 2i} \right)\left( {{z_2} + 2i} \right)\left( {{z_3} + 2i} \right)\left( {{z_4} + 2i} \right)} \right]\\\,\,\,\, = \left[ {\left( {2i - {z_1}} \right)\left( {2i - {z_2}} \right)\left( {2i - {z_3}} \right)\left( {2i - {z_4}} \right)} \right]\left[ {\left( { - 2i - {z_1}} \right)\left( { - 2i - {z_2}} \right)\left( { - 2i - {z_3}} \right)\left( { - 2i - {z_4}} \right)} \right]\\\,\,\,\, = f\left( {2i} \right).f\left( { - 2i} \right) = 1.1 = 1\end{array}\)

Vậy \(T = 1\).

Chọn B.