Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} -...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) có tâm \(I\left( {a;b} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

2) Xét vị trí tương đối của M với đường tròn \(\left( C \right)\) 

3) Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \(\left( {O,R} \right)\) tại \(A \in \left( {O,R} \right)\)\( \Leftrightarrow OA \bot \Delta \) tại A

4) Tìm giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục Ox và tính độ dài dây cung đó

5) Dây cung dài nhất của đường tròn là đường kính.

Giải chi tiết:

Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 6x - 2y = 0\)

+) \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;1} \right),\,\,R = \sqrt {{3^2} + 1}  = \sqrt {10}  \Rightarrow \)  1) đúng.

+) \(IM = \sqrt {{{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {1 + 4}  = \sqrt 5  < \sqrt {10}  = R\)

\( \Rightarrow \) M nằm trong đường tròn \(\left( C \right) \Rightarrow \) 2) đúng

+) Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại N

Ta có: \(\overrightarrow {IN}  = \left( {1;3} \right)\) là một VTPT của \(\Delta \)

 Phương trình \(\Delta \): \(\left( {x - 4} \right) + 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 16 = 0 \Rightarrow \)  3) đúng

+) Gọi P, Q là giao điểm của \(\left( C \right)\) và  \(Ox:\,\,y = 0 \Rightarrow \) tọa độ P, Q là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 6x - 2y = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 6x = 0\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;y = 0 \Rightarrow P\left( {0;0} \right)\\x = 6;y = 0 \Rightarrow Q\left( {6;0} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow PQ = \sqrt {{6^2}}  = 6\) \( \Rightarrow \) 4) đúng

+) Dây cung dài nhất là đường kính mà có vô số đường kính \( \Rightarrow \) 5) sai

Vậy có 4 mệnh đề đúng

Chọn B.