Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính \(AB = 2R\),...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a)      CMR: EHOF là tứ giác nội tiếp.

Qua E kẻ dây cung ED vuông góc với AB thì H thuộc trung trực của ED \( \Rightarrow \widehat {AHD} = \widehat {EHA}\)

Ta có: \(\widehat {EHC} = \widehat {FHC} \Rightarrow {90^0} - \widehat {EHC} = {90^0} - \widehat {FHC} \Rightarrow \widehat {EHA} = \widehat {FHB}\)

\( \Rightarrow \widehat {AHD} = \widehat {EHA} = \widehat {FHB}\), mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh nên D, H, F thẳng hàng.

Ta lại có: \(\Delta OEF\) cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OEF} = \widehat {OFE}\)

\(\begin{array}{l}\widehat {OEF} + \widehat {OFE} + \widehat {EOF} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {OFE} = {180^0} - \widehat {EOF}\\ \Rightarrow \widehat {OFE} = {90^0} - \frac{{\widehat {EOF}}}{2} = {90^0} - \widehat {EDF} = \widehat {AHD} = \widehat {EHA}\end{array}\)   

Suy ra tứ giác EHOF là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện bằng nhau)

b)     Gọi R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác EHOF. Tính \(\widehat {EHF}\) khi \(R = R'\).

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EHOF. Vì \(R = R'\) nên IO = IE = IF = EO = OF

\( \Rightarrow \) tam giác IEO và tam giác IOF là các tam giác đều.

Do vậy: \(\widehat {EHF} = \widehat {EOF} = {120^0}.\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF).

c)      Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn đi qua 1 điểm cố định.

Kéo dài FE cắt BA tại J. Ta sẽ chứng minh J cố định.

Ta có: \(OE = OF \Rightarrow sdcungOE = sdcungOF \Rightarrow \widehat {OFJ} = \widehat {OHF}\)

Xét tam giác OHF và tam giác OFJ có:

\(\begin{array}{l}\widehat {OHF} = \widehat {OFJ}\,\,\left( {cmt} \right);\\\widehat {FOJ}\,\,chung\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta OHF \backsim \Delta OFJ\,\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{OH}}{{OF}} = \frac{{OF}}{{OJ}} \Rightarrow OH.OJ = O{F^2} = O{C^2} \Rightarrow OC \bot CJ\end{array}\)

\( \Rightarrow \) CJ là tiếp tuyến của (O) tại C.

Vì C cố định nên J cố định.

Ta có điều phải chứng minh.