Cho đường tròn \(\left( O \right),\) từ điểm \(A\)...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Cho đường tròn \(\left( O \right),\) từ điểm \(A\) ngoài đường tròn vẽ đường thẳng \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(B,\;\;C\;\left( {AB < AC} \right).\) Qua \(A\) vẽ đường thẳng không đi qua \(O\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D,\;E\;\;\left( {AD < AE} \right).\) Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(A\) cắt đường thẳng \(CE\) tại \(F.\)

a) Chứng minh tứ giác \(ABEF\) nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \(\widehat {BEC} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét tứ giác \(ABEF\) ta có: \(\widehat {FAB} + \widehat {BEF} = {90^0} + {90^0} = {180^0}.\)

\( \Rightarrow ABEF\) là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}\)).

b) Gọi \(M\) là giao điểm thứ hai của \(FB\) với đường tròn \(\left( O \right).\) Chứng minh \(DM \bot AC.\)

Vì tứ giác ABEF là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \widehat {AEB} = \widehat {AFB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB).

Lại có \(\widehat {AEB} = \widehat {BMD}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD của đường tròn (O))

\( \Rightarrow \widehat {AFB} = \widehat {BMD}\). Mà hai góc này ở vị trí so le trong \( \Rightarrow AF//DM\).

Mà \(AF \bot AC \Rightarrow DM \bot AC\).

c) Chứng minh \(CE.CF + AD.AE = A{C^2}.\) 

Xét tam giác ACD và tam giác ABE có

\(\widehat {CAE}\) chung;

\(\widehat {ACD} = \widehat {AEB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)

\( \Rightarrow \Delta ACD \sim \Delta AEB\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{AB}} \Rightarrow AD.AE = AC.AB\,\,\left( 1 \right)\)

Xét tam giác CBE và tam giác CFA có:

\(\widehat {ACB}\) chung;

\(\widehat {CEB} = \widehat {CAF} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \Delta CBE \sim \Delta CFA\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{CE}}{{CA}} = \frac{{CB}}{{CF}} \Rightarrow CE.CF = CA.CB\,\,\left( 2 \right)\) 

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow CE.CF + AD.AE = CA.CB + AC.AB = AC\left( {AB + BC} \right) = A{C^2}\,\,\left( {dpcm} \right)\)