Cho \(\alpha \) là góc nhọn. Chứng minh:\(\sqrt {{...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức:

+) \({\cos ^2}\alpha  = 1 - {\sin ^2}\alpha ,{\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha \)

+) Với  \(\alpha \) là góc nhọn ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\cos \alpha  > 0\\\sin \alpha  > 0\end{array} \right..\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}VT = \sqrt {{{\sin }^4}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }  + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \\ = \sqrt { - {{\sin }^2}\alpha .\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right) + {{\cos }^2}\alpha }  + \sqrt { - {{\cos }^2}\alpha .\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) + {{\sin }^2}\alpha } \\ = \sqrt { - {{\sin }^2}\alpha .{{\cos }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }  + \sqrt { - {{\cos }^2}\alpha .{{\sin }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha } \\ = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha \left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)}  + \sqrt {{{\sin }^2}\alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right)} \\ = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha } .\sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha }  + \sqrt {{{\sin }^2}\alpha } .\sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } \\ = \cos \alpha .\sqrt {{{\cos }^2}\alpha }  + \sin \alpha .\sqrt {\sin \alpha } \;\;\;\left( {do\;\;0 < \alpha  < {{90}^0} \Rightarrow \sin \alpha ,\;\;\cos \alpha  > 0} \right)\\ = {\cos ^2}\alpha  + {\sin ^2}\alpha  = 1\;\;\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

Vậy \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha }  + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha  - {{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha }  = 1\)